Python协方差与相关系数怎么定义

本篇内容介绍了“Python协方差与相关系数怎么定义”的有关知识，在实际案例的操作过程中，不少人都会遇到这样的困境，接下来就让小编带领大家学习一下如何处理这些情况吧！希望大家仔细阅读，能够学有所成！

联合分布中包含了相当丰富的信息。比如从联合分布中抽取某个随机变量的边缘分布，即获得该随机变量的分布，并可以据此，获得该随机变量的期望和方差。这样做是将视线限制在单一的一个随机变量上，我们损失了联合分布中包含的其他有用信息，比如不同随机变量之间的互动关系。为了了解不同随机变量之间的关系，需要求助其它的一些描述量。

协方差

协方差(covariance)表达了两个随机变量的协同变化关系。我们取一个样本空间，即学生的体检数据。学生的身高为随机变量X，学生的体重为随机变量Y。

	160cm	170cm	180cm
60kg	0.2	0.05	0.05
70kg	0.05	0.3	0.05
80kg	0.05	0.05	0.2

根据上表，大的身高(180cm)和大的体重(80kg)同时出现的概率较大(0.2)，小的身高值(160cm)和小的体重(60kg)的概率也较大(0.2)。偏大的身高往往伴随偏大的体重，偏小的身高常伴随偏小的体重。这种“大”伴随着“大”，“小”伴随着“小”的情形，叫做正相关。根据上面的数据，身高和体重两个随机变量正相关性很强。

另一方面，如果“大”配“小”，“小”配“大”的概率很高，那么两个随机变量负相关。“最萌身高差”是负相关的一个范例。（样本空间为情侣的身高信息。可以定义男生身高为一个随机变量，女生身高为另一个随机变量）

正如其他的分布描述量一样，协方差从概率分布中提取信息，让我们获知分布的“性能”。对于一个已知的联合分布来说，任意两个随机变量之间都可以计算出一个协方差，即一个数值。

定义

协方差的定义如下，如果X和Y是联合分布的随机变量，且分别有期望μXμX，μYμY，那么X和Y的协方差为

Cov(X,Y)=E[(X−μX)(Y−μY)]Cov(X,Y)=E[(X−μX)(Y−μY)]

协方差的定义基于期望。根据期望的定义，协方差可以直接用于离散随机变量和连续随机变量。

我们已经知道，期望是某个随机变量根据概率的加权平均。我们所要加权平均的目标是X−μXX−μX和Y−μYY−μY的乘积。随机变量和期望的差，代表了随机变量的取值和中心值的偏离程度，也就是我们上面所谓的“偏大”或者“偏小”的情况：正值的偏离表示“偏大”，负值的偏离表示“偏小”。如果是正相关，即大配大，小配小的情况，那么这一乘积为正；如果是负相关，乘积为负。所以，通过(X−μX)(Y−μY)(X−μX)(Y−μY)这个量，我们表达了X和Y的相关性。

回到刚才的数据来计算相关性，

	160cm	170cm	180cm
60kg	0.2	0.05	0.05
70kg	0.05	0.3	0.05
80kg	0.05	0.05	0.2

让身高为X，体重为Y。我们可以通过边缘分布，来分别获得X和Y的分布(回忆一下)。求得X和Y的期望，分别为170和70。计算各个格子中的(X−μX)(Y−μY)(X−μX)(Y−μY)

	160cm	170cm	180cm
60kg	100	0	-100
70kg	0	0	0
80kg	-100	0	100

上面的两个表，对应的格子相乘，并求和，就得到协方差:

Cov(X,Y)=0.2×100+0.2×100+0.05×(−100)+0.05×(−100)=30(1)(2)(1)Cov(X,Y)=0.2×100+0.2×100+0.05×(−100)+0.05×(−100)(2)=30

在上面的计算中，正相关的项目都分配有比较大的概率值。最终的协方差也是一个正值。

根据期望的性质，我们可以改写协方差的表达形式:

Cov(X,Y)=E(XY−XμX−YμX+μXμY)=E(XY)−E(X)μX−E(Y)μY+μXμY=E(XY)−E(X)E(Y)(3)(4)(5)(3)Cov(X,Y)=E(XY−XμX−YμX+μXμY)(4)=E(XY)−E(X)μX−E(Y)μY+μXμY(5)=E(XY)−E(X)E(Y)

当X和Y独立时，有E(XY)=E(X)E(Y)E(XY)=E(X)E(Y)，Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0。

(注意，Cov(X,Y)=0Cov(X,Y)=0并不意味着X和Y独立)

相关系数

正的协方差表达了正相关性，负的协方差表达了负相关性。对于同样的两个随机变量来说，计算出的协方差越大，相关性越强。

但随后一个问题，身高和体重的协方差为30，这究竟是多大的一个量呢？如果我们又发现，身高与鞋号的协方差为5，是否说明，相对于鞋号，身高与体重的的相关性更强呢？

这样横向对比超出了协方差的能力范围。从日常生活经验来说，体重的上下浮动大约为20kg，而鞋号的上下浮动大约可能只是5个号码。所以，对于体重来说，5kg与中心的偏离并不算大，而5个号码的鞋号差距，就可能是最极端的情况了。假设身高和体重的相关强度，与身高和鞋码的相关强度类似，但由于体重本身的数值上下浮动更大，所计算出的协方差也会更大。另一个情况，依然是计算身高与体重的协方差。数据完全不变，而只更改单位。我们的体重用克而不是千克做单位，计算出的协防差是原来数值的1000倍！

为了能进行这样的横向对比，我们需要排除用统一的方式来定量某个随机变量的上下浮动。这时，我们计算相关系数(correlation coefficient)。相关系数是“归一化”的协方差。它的定义如下:

ρ=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)−−−−−−−−−−−−√ρ=Cov(X,Y)Var(X)Var(Y)

相关系数是用协方差除以两个随机变量的标准差。相关系数的大小在-1和1之间变化。再也不会出现因为计量单位变化，而数值暴涨的情况了。

依然使用上面的身高和体重数据，可以计算出

Var(X)=0.3×(60−70)2+0.3×(80−70)2=60Var(X)=0.3×(60−70)2+0.3×(80−70)2=60

Var(Y)=0.3×(180−170)2+0.3×(160−170)2=60Var(Y)=0.3×(180−170)2+0.3×(160−170)2=60

ρ=30/60=0.5ρ=30/60=0.5

这样一个“归一化”了的相关系数，更容易让人把握到相关性的强弱，也更容易在不同随机变量之间，做相关性的横向比较。

双变量正态分布

双变量正态分布是一种常见的联合分布。它描述了两个随机变量X1X1和X2X2的概率分布。概率密度的表达式如下：

f(x1,x2)=12πσ1σ21−ρ2−−−−−√exp[−z2(1−ρ2)]f(x1,x2)=12πσ1σ21−ρ2exp⁡[−z2(1−ρ2)]

其中，

z=(x1−μ1)2σ21−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22z=(x1−μ1)2σ12−2ρ(x1−μ1)(x2−μ2)σ1σ2+(x2−μ2)2σ22

X1X1和X2X2的边缘密度分别为两个正态分布，即正态分布N(μ1,σ1)N(μ1,σ1), N(μ2,σ2)N(μ2,σ2)。

另一方面，除非ρ=0ρ=0，否则联合分布也并不是两个正态分布的简单相乘。可以证明，ρρ正是双变量正态分布中，两个变量的相关系数。

我们现在绘制该分布的图像。可惜的是，现在的scipy.stats并没有该分布。我们需要自行编写。

选取所要绘制的正态分布，为了简单起见，让μ1=0μ1=0, μ2=0μ2=0, σ1=1σ1=1,σ2=1σ2=1。

我们先让ρ=0ρ=0，此时的联合分布相当于两个正态分布的乘积。绘制不同视角的同一分布，结果如下。可以看到，概率分布是中心对称的。

再让ρ=0.8ρ=0.8，也就是说，两个随机变量的相关系数为0.8。绘制不同视角的同一分布，结果如下。可以看到，概率分布并不中心对称。沿着Y=XY=X这条线，概率曲面隆起，概率明显比较高。而沿着Y=−XY=−X这条线，概率较低。这也就是我们所说的正相关。

现在，ρρ对于我们来说，有了更具体的现实意义。:-)

# By Vameifrom scipy.stats import normimport numpy as np# this function is to generate a pdf of bivariate normal distributiondef bivar_norm(mu1, mu2, sigma1, sigma2, rho):    # pdf of bivariate norm
    def pdf(x1, x2):        # get z
        part1 = (x1 - mu1)**2/sigma1**2
        part2 = - 2.*rho*(x1 - mu1)*(x2 - mu2)/sigma1*sigma2
        part3 = (x2 - mu2)**2/sigma2**2
        z = part1 + part2 + part3
        cof = 1./(2.*np.pi*sigma1*sigma2*np.sqrt(1 - rho**2))        return cof*np.exp(-z/(2.*(1 - rho**2)))    return pdf
pdf1 = bivar_norm(0, 0, 1, 1, 0)
pdf2 = bivar_norm(0, 0, 1, 1, 0.8)from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfrom matplotlib import cmfrom matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatterimport matplotlib.pyplot as plt# plot functiondef space_surface(pdf, xp, yp, zlim, rot1=30, rot2=30):
    fig = plt.figure()
    ax = fig.gca(projection='3d')
    X = np.arange(*xp)
    Y = np.arange(*yp)
    X, Y = np.meshgrid(X, Y)
    Z = pdf(X, Y)
    surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=8, cstride=8,
         alpha = 0.3)
    cset = ax.contour(X, Y, Z, zdir='z', offset=zlim[0], cmap=cm.coolwarm)
    cset = ax.contourf(X, Y, Z, zdir='x', offset=xp[0], cmap=cm.coolwarm)
    cset = ax.contourf(X, Y, Z, zdir='y', offset=yp[0], cmap=cm.coolwarm)    for angle in range(rot1 + 0, rot1 + 360):
        ax.view_init(rot2, angle)
    ax.set_zlim(*zlim)
    ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator(10))
    ax.zaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%.02f'))
    ax.set_xlabel("X")
    ax.set_ylabel("Y")
    ax.set_zlabel("f(x,y)")    # fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)xp = [-3, 3, 0.05]
yp = [-3, 3, 0.05]
zlim1 = [-0.15, 0.15]
zlim2 = [-0.25, 0.25]
space_surface(pdf1, xp, yp, zlim1, 30, 20)
space_surface(pdf1, xp, yp, zlim1, 60, 45)
space_surface(pdf2, xp, yp, zlim2, 30, 20)
space_surface(pdf2, xp, yp, zlim2, 60, 45)

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